上传者: mydarlings
|
上传时间:2023/11/26 8:36:30
|
文件大小:126KB
|
文件类型:pdf
牛顿-柯特斯数值积分公式及其MATLAB的实现(Matlab技术论坛)
本帖代码和教程有Matlab技术论坛原创,原帖参见http://www.matlabsky.com/viewthread.php?tid=3885一、数值积分基本公式数值求积基本通用公式如下Eqn1.gif(1.63KB)2009-11-2023:23xk:求积节点Ak:求积系数,与f(x)无关数值积分要做的就是确定上式中的节点xk和系数Ak。
可以证明当求积系数Ak全为正时,上述数值积分计算过程是稳定。
二、插值型数值积分公式对f(x)给定的n+1个节点进行Lagrange多项式插值,故Eqn2.gif(2.95KB)2009-11-2023:23即求积系数为Eqn3.gif(3.29KB)2009-11-2023:23三、牛顿-柯特斯数值积分公式当求积节点在[a,b]等间距分布时,插值型积分公式(先使用Lagrange对节点进行多项式插值,再计算求积系数,最后求积分值)称为Newton-Cotes积分公式。
由于Newton-Cotes积分是通过Lagrange多项式插值变化而来的,我们都知道高次多项式插值会出现Runge振荡现象,因此会导致高阶Newton-Cotes公式不稳定。
Newton-Cotes积分公式的求积系数为Eqn4.gif(3.38KB)2009-11-2023:28其中C(k,n)称为柯特斯系数。
(1)当n=1时,Newton-Cotes公式即为梯形公式Eqn5.gif(1.68KB)2009-11-2023:28容易证明上式具有一次代数精度(对于Newton-Cotes积分公式,n为奇数时有n次迭代精度,n为偶数时具有n+1次精度,精度越高积分越精确,同时计算量也越大)(2)当n=2时,Newton-Cotes公式即为辛普森(Simpson)公式或者抛物线公式Eqn6.gif(2.04KB)2009-11-2023:28上式具有3次迭代精度(3)当n=4时,Newton-Cotes公式称为科特斯(Cotes)公式Eqn7.gif(2.68KB)2009-11-2023:28上式具有5次迭代精度。
由于n=3和n=2时具有相同的迭代精度,但是n=2时计算量小,故n=3的Newton-Cotes积分公式用的很少(4)当≥8时,通过计算可以知道,在n=8时柯特斯系数出现负值由于数值积分稳定的条件是求积系数Ak必须为正,所以n>=8以上高阶Newton-Cotes公式,我们不能保证积分的稳定性(其根本原因是,Newton-Cotes公式是由Lagrange插值多项推导出来的,而高阶多项式会出现Rung现象)。
四、复化求解公式n阶Newton-Cotes公式只能有n+1个积分节点,但是高阶Newton-Cotes公式由不稳定。
为了提高大区间的数值积分精度,我们采用了分段积分的方法,即先将原区间划分成若干小区间,然后对每一个小区间使用Newton-Cotes积分公式,这就是复化Newton-Cotes求积公式。
(1)当n=1时,称为复化梯形公式。
将[a,b]等分为n份,子区间长度为h=(b-a)/n,则复化梯形公式为(注意:复化求解公式不需要求积子区间等间距,只是Newton-Cotes公式分段积分时自动对小区间进行等分,我们这里采用等分子区间是为了便于计算而已)Eqn8.gif(2.18KB)2009-11-2023:28(2)当n=2时,称为复化辛普森公式。
Eqn9.gif(2.96KB)2009-11-2023:28五、Newton-Cotes数值积分公式Matlab代码
本软件ID:1850202